Die eerste stelling wat Pugh bewys sodra hy die Riemann-integraal definieer, is dat integreerbaarheid begrensdheid impliseer. Dit is Stelling 15 op bladsy 155 in my uitgawe. Dit wys dat 'n mens eers oor definisies moet saamstem.
Is Riemann integreerbaar impliseer begrens?
Stelling 4. Elke Riemann-integreerbare funksie is begrens.
Is nie-begrensde funksies integreerbaar?
'n Onbeperkte funksie is nie Riemann-integreerbaar nie. In die volgende sal "integreerbaar" "Riemann-integreerbaar" beteken, en "integraal" sal "Riemann-integraal" beteken, tensy uitdruklik anders vermeld. f(x)={ 1/x as 0 < x ≤ 1, 0 as x=0. dus is die boonste Riemann-somme van f nie goed gedefinieer nie.
Is 'n Lebesgue-integreerbare funksie begrens?
Meetbare funksies wat begrens is is gelykstaande aan Lebesgue-integreerbare funksies. As f 'n begrensde funksie is gedefinieer op 'n meetbare versameling E met eindige maat. Dan is f meetbaar as en slegs as f Lebesgue-integreerbaar is. … Aan die ander kant is meetbare funksies "amper" aaneenlopend.
Hoe weet jy of 'n funksie Lebesgue-integreerbaar is?
As f, g funksies so is dat f=g amper oral, dan is f Lebesgue-integreerbaar as en slegs as g Lebesgue-integreerbaar is, en die integrale van f en g is dieselfde as hulle bestaan.